Efectivamente, era de la Quadra,
en su origen, fue Iñigo Ordoñez de la Quadra, que tomó el de la Quadra del lugar donde estableció su casa, La Quadra, una torre, de un valle de Vizcaya, muy cerca de Bilbao. y de ahí en adelante todos los descendientes se apellidaron de la Quadra, por cuestión del idioma y tal se fue degenerando o ramificando a Cuadra, Cuadras, Cuadrado, Quadra, etc.
todo esto está suficientemente documentado, por lo que no hay ninguna duda, de su origen y descendencia.

Un visitante nos comentan:

Era De La Cuadra, hace unos años atras.
Es español.